Brüche und Dezimalzahlen verstehen – Vollständiger Leitfaden
Erfahren Sie, wie Brüche und Dezimalzahlen funktionieren, wie Sie zwischen ihnen umrechnen und arithmetische Operationen durchführen.
Was ist ein Bruch?
Ein Bruch stellt einen Teil eines Ganzen dar. Er besteht aus einem Zähler (die obere Zahl) und einem Nenner (die untere Zahl), getrennt durch einen Bruchstrich. Der Nenner sagt Ihnen, in wie viele gleiche Teile das Ganze geteilt ist, und der Zähler sagt Ihnen, wie viele dieser Teile Sie haben. Zum Beispiel bedeutet 3/4 drei von vier gleichen Teilen. Brüche können auch Division darstellen: 3/4 entspricht 3 geteilt durch 4, was 0,75 ergibt. Brüche werden überall verwendet – vom Kochen (eine halbe Tasse) über den Bau (drei Achtel eines Zolls) bis zur Wahrscheinlichkeit (eine Chance von sechs).
Arten von Brüchen
Brüche gibt es in verschiedenen Varianten. Ein echter Bruch hat einen Zähler, der kleiner als der Nenner ist (wie 2/5), was weniger als ein Ganzes darstellt. Ein unechter Bruch hat einen Zähler, der größer oder gleich dem Nenner ist (wie 7/3), was ein oder mehr Ganze darstellt. Eine gemischte Zahl kombiniert eine ganze Zahl mit einem echten Bruch (wie 2⅓). Um einen unechten Bruch in eine gemischte Zahl umzuwandeln, teilen Sie den Zähler durch den Nenner: Der Quotient ist der ganze Teil, der Rest ist der neue Zähler, und der Nenner bleibt gleich. Also 7/3 = 2 Rest 1 = 2⅓.
Brüche kürzen
Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Faktor außer 1 haben. Um einen Bruch zu kürzen, finden Sie den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von Zähler und Nenner und teilen beide dadurch. Zum Beispiel hat 12/18 einen ggT von 6, also vereinfacht sich 12/18 zu 2/3 nach Division beider durch 6. Sie können den ggT durch Auflisten der Faktoren, Primfaktorzerlegung oder den Euklidischen Algorithmus finden. Das Kürzen von Brüchen macht sie einfacher zu handhaben und zu vergleichen.
Addition und Subtraktion von Brüchen
Um Brüche zu addieren oder zu subtrahieren, müssen sie denselben Nenner haben (einen gemeinsamen Nenner). Wenn sie es bereits tun, addieren oder subtrahieren Sie einfach die Zähler und behalten den Nenner bei. Zum Beispiel: 2/7 + 3/7 = 5/7. Wenn die Nenner unterschiedlich sind, finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner, erweitern jeden Bruch und rechnen dann. Zum Beispiel: 1/3 + 1/4 erfordert kgV = 12: Umwandeln in 4/12 + 3/12 = 7/12. Bei gemischten Zahlen können Sie entweder zuerst in unechte Brüche umwandeln oder den ganzzahligen und den Bruchteil getrennt behandeln.
Multiplikation und Division von Brüchen
Die Multiplikation von Brüchen ist einfacher als die Addition: Multiplizieren Sie die Zähler miteinander und die Nenner miteinander. Zum Beispiel: 2/3 × 4/5 = 8/15. Sie können vor dem Multiplizieren durch Kreuzkürzen gemeinsamer Faktoren vereinfachen. Um Brüche zu dividieren, multiplizieren Sie mit dem Kehrwert des Divisors. Zum Beispiel: 2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6. Die Phrase „umdrehen und multiplizieren" fasst diese Regel zusammen.
Brüche in Dezimalzahlen umwandeln
Um einen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln, teilen Sie einfach den Zähler durch den Nenner. Zum Beispiel: 3/8 = 3 ÷ 8 = 0,375. Manche Brüche ergeben endliche Dezimalzahlen (wie 1/4 = 0,25), während andere periodische Dezimalzahlen ergeben (wie 1/3 = 0,333...). Ein vollständig gekürzter Bruch ergibt eine endliche Dezimalzahl genau dann, wenn der Nenner keine anderen Primfaktoren als 2 und 5 hat. Für periodische Dezimalzahlen wird eine Überstrichnotation verwendet: 0,333... wird als 0,3̄ geschrieben.
Dezimalzahlen in Brüche umwandeln
Um eine endliche Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, schreiben Sie die Ziffern nach dem Komma als Zähler und die entsprechende Zehnerpotenz als Nenner, dann kürzen Sie. Zum Beispiel: 0,625 = 625/1000 = 5/8 nach Division beider durch 125. Für periodische Dezimalzahlen verwenden Sie eine algebraische Methode: Sei x = 0,666..., dann 10x = 6,666..., also 10x - x = 6, was 9x = 6 ergibt, und x = 6/9 = 2/3. Diese Technik funktioniert für jedes periodische Muster.
Brüche und Dezimalzahlen vergleichen
Um Brüche zu vergleichen, können Sie sie auf einen gemeinsamen Nenner bringen oder in Dezimalzahlen umwandeln. Zum Beispiel: Was ist größer, 3/7 oder 5/12? Die Umwandlung in Dezimalzahlen ergibt ungefähr 0,4286 und 0,4167, also ist 3/7 größer. Alternativ kreuzmultiplizieren: 3 × 12 = 36 und 5 × 7 = 35; da 36 > 35, ist 3/7 > 5/12. Beim Vergleich von Dezimalzahlen richten Sie die Dezimalkommas aus und vergleichen Stelle für Stelle von links nach rechts.