Mittelwert, Median und Modus berechnen – Vollständiger Leitfaden
Erfahren Sie, wie Sie Mittelwert, Median und Modus mit klaren Erklärungen und Beispielen berechnen. Verstehen Sie, wann welches Lagemaß zu verwenden ist.
Was sind Lagemaße?
Lagemaße (Maße der zentralen Tendenz) sind Werte, die das „Zentrum" oder den „typischen Wert" eines Datensatzes repräsentieren. Die drei häufigsten Maße sind der Mittelwert, der Median und der Modus. Jedes erfasst einen anderen Aspekt dessen, was „durchschnittlich" oder „repräsentativ" für die Daten ist. Die Wahl des richtigen Maßes hängt von der Verteilung Ihrer Daten und der Frage ab, die Sie beantworten möchten. In einer perfekt symmetrischen Verteilung sind alle drei Maße gleich, aber in schiefen oder unregelmäßigen Daten können sie sich erheblich unterscheiden.
Den Mittelwert (Durchschnitt) berechnen
Der arithmetische Mittelwert ist das, was die meisten Menschen „den Durchschnitt" nennen. Um ihn zu berechnen, addieren Sie alle Werte im Datensatz und teilen durch die Anzahl der Werte. Die Formel lautet: Mittelwert = (Summe aller Werte) / n. Zum Beispiel: Der Mittelwert von {5, 10, 15, 20, 25} ist (5 + 10 + 15 + 20 + 25) / 5 = 75 / 5 = 15. Der Mittelwert berücksichtigt jeden Wert, was ihn empfindlich gegenüber Ausreißern macht. Ein einzelner extrem hoher oder niedriger Wert kann den Mittelwert erheblich vom Hauptteil der Daten wegziehen.
Den Median berechnen
Der Median ist der mittlere Wert, wenn die Daten der Größe nach sortiert sind. Bei einer ungeraden Anzahl von Werten ist der Median der einzelne mittlere Wert. Bei einer geraden Anzahl ist der Median der Durchschnitt der beiden mittleren Werte. Zum Beispiel: Der Median von {3, 7, 9, 12, 15} ist 9 (der dritte von fünf Werten). Der Median von {3, 7, 9, 12} ist (7 + 9) / 2 = 8. Der Median ist resistent gegenüber Ausreißern, was ihn besonders nützlich für schiefe Daten macht. Das Medianeinkommen wird beispielsweise dem Durchschnittseinkommen vorgezogen, da einige Spitzenverdiener den Mittelwert dramatisch aufblähen können.
Den Modus berechnen
Der Modus ist der Wert, der am häufigsten im Datensatz vorkommt. Ein Datensatz kann einen Modus (unimodal), zwei Modi (bimodal), mehrere Modi (multimodal) oder keinen Modus haben (wenn jeder Wert gleich oft vorkommt). Zum Beispiel: Der Modus von {2, 3, 3, 5, 7, 7, 7, 10} ist 7, da er dreimal vorkommt, häufiger als jeder andere Wert. Der Modus ist das einzige Lagemaß, das mit kategorialen (nicht-numerischen) Daten verwendet werden kann. Zum Beispiel könnte der Modus einer Liste von Lieblingsfarben „Blau" sein.
Wann welches Maß verwenden
Verwenden Sie den Mittelwert, wenn die Daten ungefähr symmetrisch und frei von extremen Ausreißern sind, da er alle verfügbaren Informationen nutzt. Verwenden Sie den Median, wenn die Daten schief sind oder Ausreißer enthalten, da er ein besseres Gefühl für den typischen Wert gibt. Verwenden Sie den Modus, wenn Sie die häufigste Kategorie oder den häufigsten Wert identifizieren möchten, besonders bei diskreten oder kategorialen Daten. Im Immobilienbereich werden Medianpreise gegenüber Durchschnittspreisen bevorzugt. Im Einzelhandel hilft der Modus der Schuhgröße, die am häufigsten vorrätig zu haltenden Größen zu bestimmen.
Gewichteter Mittelwert
Ein gewichteter Mittelwert weist jedem Wert im Datensatz unterschiedliche Gewichtungen zu. Statt jeden Wert gleich zu behandeln, wird jeder Wert mit einem Gewicht multipliziert, und die Summe der gewichteten Werte wird durch die Summe der Gewichte geteilt. Die Formel lautet: gewichteter Mittelwert = (Summe von Gewicht_i × Wert_i) / (Summe von Gewicht_i). Zum Beispiel: Wenn Ihre Endnote auf Hausaufgaben (30 %), Zwischenprüfung (30 %) und Abschlussprüfung (40 %) basiert und Sie 90, 80 bzw. 70 Punkte erzielt haben, ist Ihr gewichteter Mittelwert (0,30 × 90 + 0,30 × 80 + 0,40 × 70) / 1,00 = 79.
Beziehung zwischen Mittelwert, Median und Modus
In einer perfekt symmetrischen Verteilung (wie einer Normalverteilung) sind Mittelwert, Median und Modus alle gleich. In einer rechtsschiefen Verteilung (mit einem langen Ausläufer nach rechts) wird der Mittelwert nach rechts gezogen und ist größer als der Median, der wiederum größer als der Modus ist. In einer linksschiefen Verteilung kehrt sich die Reihenfolge um: Der Mittelwert ist am kleinsten, gefolgt vom Median, dann dem Modus. Eine ungefähre empirische Beziehung für mäßig schiefe Daten lautet: Mittelwert - Modus ≈ 3 × (Mittelwert - Median).