भिन्न और दशमलव को समझना - संपूर्ण गाइड
भिन्न और दशमलव कैसे काम करते हैं, उनके बीच रूपांतरण कैसे करें, और अंकगणितीय संक्रियाएँ कैसे करें, यह सीखें। सरलीकरण, तुलना और उदाहरण शामिल हैं।
भिन्न क्या है?
भिन्न एक पूर्ण के एक भाग का प्रतिनिधित्व करता है। इसमें एक अंश (ऊपर की संख्या) और एक हर (नीचे की संख्या) होता है, जो भिन्न रेखा द्वारा अलग होते हैं। हर बताता है कि पूर्ण कितने बराबर भागों में विभाजित है, और अंश बताता है कि आपके पास उन भागों में से कितने हैं। उदाहरण के लिए, 3/4 का अर्थ है चार बराबर भागों में से तीन। भिन्न विभाजन का भी प्रतिनिधित्व कर सकती हैं: 3/4 3 भाग 4 के बराबर है, जो 0.75 के बराबर है। भिन्नों का उपयोग हर जगह होता है — खाना पकाने (आधा कप) से लेकर निर्माण (तीन-आठवां इंच) से लेकर प्रायिकता (छह में एक संभावना) तक।
भिन्नों के प्रकार
भिन्न कई प्रकार के होते हैं। उचित भिन्न में अंश हर से छोटा होता है (जैसे 2/5), अर्थात यह एक पूर्ण से कम का प्रतिनिधित्व करता है। अनुचित भिन्न में अंश हर से बड़ा या बराबर होता है (जैसे 7/3), अर्थात यह एक या अधिक पूर्ण का प्रतिनिधित्व करता है। मिश्र संख्या एक पूर्ण संख्या को उचित भिन्न के साथ जोड़ती है (जैसे 2 1/3)। अनुचित भिन्न को मिश्र संख्या में बदलने के लिए, अंश को हर से भाग दें: भागफल पूर्ण भाग है, शेषफल नया अंश है, और हर वही रहता है। तो 7/3 = 2 शेष 1, जो 2 1/3 है।
भिन्नों को सरल करना
कोई भिन्न सरलतम रूप में (या न्यूनतम पदों में) है जब अंश और हर का 1 के अलावा कोई सामान्य गुणनखंड नहीं है। भिन्न को सरल करने के लिए, अंश और हर का महत्तम सामान्य गुणनखंड (GCF) निकालें, फिर दोनों को उससे भाग दें। उदाहरण के लिए, 12/18 का GCF 6 है, इसलिए 12/18 सरलीकृत होकर 2/3 बनता है। GCF गुणनखंड सूचीबद्ध करके, अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग करके, या यूक्लिडीय एल्गोरिथ्म लागू करके निकाला जा सकता है। भिन्नों को सरल करना उन्हें काम करने और तुलना करने में आसान बनाता है।
भिन्नों का जोड़ और घटाव
भिन्नों को जोड़ने या घटाने के लिए, उनका हर समान (सामान्य हर) होना चाहिए। यदि पहले से है, तो बस अंशों को जोड़ें या घटाएँ और हर रखें। उदाहरण के लिए, 2/7 + 3/7 = 5/7। यदि हर अलग हैं, तो लघुतम सामान्य हर (LCD) निकालें, प्रत्येक भिन्न को बदलें, फिर संक्रिया करें। उदाहरण के लिए, 1/3 + 1/4 के लिए LCD = 12 चाहिए: 4/12 + 3/12 = 7/12 में बदलें। मिश्र संख्याओं के लिए, आप या तो पहले अनुचित भिन्नों में बदल सकते हैं या पूर्ण-संख्या और भिन्न भागों को अलग-अलग संभाल सकते हैं।
भिन्नों का गुणा और भाग
भिन्नों का गुणा उनके जोड़ से सरल है: अंशों को एक साथ और हरों को एक साथ गुणा करें। उदाहरण के लिए, 2/3 x 4/5 = 8/15। आप सामान्य गुणनखंडों को तिरछा-रद्द करके गुणा करने से पहले सरल कर सकते हैं। भिन्नों का भाग करने के लिए, भाजक के व्युत्क्रम से गुणा करें। उदाहरण के लिए, 2/3 भाग 4/5 बराबर 2/3 x 5/4 = 10/12 = 5/6। "उलटो और गुणा करो" वाक्यांश इस नियम को सारांशित करता है। ये संक्रियाएँ मिश्र संख्याओं तक स्वाभाविक रूप से विस्तारित होती हैं: पहले अनुचित भिन्नों में बदलें, फिर सामान्य रूप से गुणा या भाग करें।
भिन्नों को दशमलव में बदलना
भिन्न को दशमलव में बदलने के लिए, बस अंश को हर से भाग दें। उदाहरण के लिए, 3/8 = 3 भाग 8 = 0.375। कुछ भिन्न समाप्ति दशमलव उत्पन्न करती हैं (जैसे 1/4 = 0.25), जबकि अन्य आवर्ती दशमलव उत्पन्न करती हैं (जैसे 1/3 = 0.333...)। न्यूनतम पदों में कोई भिन्न समाप्ति दशमलव उत्पन्न करती है यदि और केवल यदि हर में 2 और 5 के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं है। इस अंतर को समझने से आपको यह अनुमान लगाने में मदद मिलती है कि रूपांतरण सटीक होगा या अनुमानित।
दशमलव को भिन्नों में बदलना
समाप्ति दशमलव को भिन्न में बदलने के लिए, दशमलव बिंदु के बाद के अंकों को अंश के रूप में और 10 की उचित घात को हर के रूप में लिखें, फिर सरल करें। उदाहरण के लिए, 0.625 = 625/1000 = 5/8 (दोनों को 125 से भाग देने पर)। आवर्ती दशमलव के लिए, बीजगणितीय विधि का उपयोग करें: x = 0.666... रखें, तो 10x = 6.666..., इसलिए 10x - x = 6, जिससे 9x = 6 और x = 6/9 = 2/3। यह तकनीक किसी भी आवर्ती पैटर्न के लिए काम करती है। दोनों दिशाओं में रूपांतरण में सहज होना लचीले गणितीय कार्य के लिए आवश्यक है।
भिन्नों और दशमलव की तुलना
भिन्नों की तुलना करने के लिए, आप उन्हें सामान्य हर या दशमलव में बदल सकते हैं। उदाहरण के लिए, कौन बड़ा है: 3/7 या 5/12? दशमलव में बदलने पर लगभग 0.4286 और 0.4167 मिलता है, इसलिए 3/7 बड़ा है। वैकल्पिक रूप से, तिरछा-गुणा करें: 3 x 12 = 36 और 5 x 7 = 35; चूँकि 36 > 35, इसलिए 3/7 > 5/12। दशमलव की तुलना करते समय, दशमलव बिंदुओं को संरेखित करें और बाएँ से दाएँ अंक-दर-अंक तुलना करें। एक उपयोगी मानदंड रणनीति भिन्नों की 1/2 से तुलना करना है।