मूलांकों को कैसे सरल करें - संपूर्ण गाइड
चरण-दर-चरण मूलांक व्यंजकों को सरल करना सीखें। वर्गमूल, घनमूल, हर का परिमेयकरण और मूलांकों पर संक्रियाएँ शामिल हैं।
मूलांक क्या है?
मूलांक एक गणितीय व्यंजक है जिसमें मूल शामिल है, जैसे वर्गमूल, घनमूल, या nवाँ मूल। मूलांक चिह्न एक चेक-मार्क जैसा चिह्न है जिसमें दाईं ओर एक क्षैतिज रेखा विस्तारित होती है। मूलांक के नीचे की संख्या को मूलक कहा जाता है, और मूलांक चिह्न के "खाँचे" में छोटी संख्या सूचकांक है, जो बताता है कि कौन सा मूल लेना है। वर्गमूल के लिए, सूचकांक 2 है (और आमतौर पर छोड़ दिया जाता है)। घनमूल के लिए, सूचकांक 3 है। एक मूलांक व्यंजक "सरलीकृत" माना जाता है जब मूलक में सूचकांक के अनुरूप कोई पूर्ण-घात गुणनखंड नहीं है, मूलांक के नीचे कोई भिन्न नहीं है, और हर में कोई मूलांक नहीं है।
वर्गमूल सरल करना
वर्गमूल सरल करने के लिए, मूलक का गुणनखंडन करें और किसी भी पूर्ण वर्ग गुणनखंड को निकालें। उदाहरण के लिए, sqrt(72) = sqrt(36 x 2) = sqrt(36) x sqrt(2) = 6 sqrt(2)। कुंजी मूलक को विभाजित करने वाला सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग खोजना है। आप अभाज्य गुणनखंडन द्वारा ऐसा कर सकते हैं: 72 = 2³ x 3² = (2² x 3²) x 2 = 36 x 2। समान अभाज्य गुणनखंडों का प्रत्येक जोड़ा मूलांक से बाहर एक गुणनखंड के रूप में आता है। एक और उदाहरण: sqrt(200) = sqrt(100 x 2) = 10 sqrt(2)। यदि मूलक पहले से पूर्ण वर्ग है, जैसे sqrt(144) = 12, तो मूलांक पूरी तरह समाप्त हो जाता है।
उच्च-सूचकांक मूलांक सरल करना
वही सिद्धांत घनमूल, चतुर्थ मूल और उससे आगे पर लागू होता है। घनमूल के लिए, पूर्ण घन गुणनखंड निकालें। उदाहरण के लिए, 54 का घनमूल = (27 x 2) का घनमूल = 3 गुणा 2 का घनमूल, क्योंकि 27 = 3³। चतुर्थ मूल के लिए, चतुर्थ-घात गुणनखंड निकालें: 48 का चतुर्थ मूल = (16 x 3) का चतुर्थ मूल = 2 गुणा 3 का चतुर्थ मूल, क्योंकि 16 = 2⁴। सामान्य रूप से, nवें मूल के लिए, मूलक के ऐसे गुणनखंड खोजें जो पूर्ण nवीं घात हों। अभाज्य गुणनखंडन विशेष रूप से सहायक है: अभाज्य गुणनखंडों को n के समूहों में व्यवस्थित करें।
मूलांकों का जोड़ और घटाव
आप केवल ऐसे मूलांकों को जोड़ या घटा सकते हैं जिनका सूचकांक और मूलक समान हो, जिन्हें "सजातीय मूलांक" कहा जाता है। यह बीजगणित में सजातीय पदों के संयोजन के अनुरूप है। उदाहरण के लिए, 3 sqrt(5) + 7 sqrt(5) = 10 sqrt(5), ठीक वैसे जैसे 3x + 7x = 10x। हालाँकि, sqrt(2) + sqrt(3) को आगे सरल नहीं किया जा सकता क्योंकि मूलक भिन्न हैं। कभी-कभी, मूलांकों को पहले सरल करने पर सजातीय पद प्रकट होते हैं: sqrt(12) + sqrt(27) = 2 sqrt(3) + 3 sqrt(3) = 5 sqrt(3)। संयोजित करने का प्रयास करने से पहले हमेशा प्रत्येक मूलांक को पूरी तरह सरल करें।
मूलांकों का गुणा और भाग
समान सूचकांक वाले मूलांकों को उनके मूलकों को एक मूलांक के नीचे संयोजित करके गुणा किया जा सकता है: sqrt(a) x sqrt(b) = sqrt(a x b)। उदाहरण के लिए, sqrt(3) x sqrt(6) = sqrt(18) = 3 sqrt(2)। भाग भी इसी तरह काम करता है: sqrt(a) / sqrt(b) = sqrt(a/b)। उदाहरण के लिए, sqrt(50) / sqrt(2) = sqrt(25) = 5। मूलांकों वाले व्यंजकों को गुणा करते समय, आवश्यकतानुसार वितरण गुण या FOIL विधि का उपयोग करें। उदाहरण के लिए, (2 + sqrt(3))(2 - sqrt(3)) = 4 - 3 = 1, जो संयुग्मी पैटर्न प्रदर्शित करता है जो मूलांकों को समाप्त करता है।
हर का परिमेयकरण
हर का परिमेयकरण का अर्थ है एक भिन्न को इस प्रकार पुनर्लिखना कि हर में कोई मूलांक न दिखाई दे। सरल मूलांक हर के लिए, अंश और हर दोनों को उस मूलांक से गुणा करें: 1/sqrt(5) = sqrt(5)/5। मूलांक वाले द्विपद हर के लिए, संयुग्मी से गुणा करें: 1/(2 + sqrt(3)) x (2 - sqrt(3))/(2 - sqrt(3)) = (2 - sqrt(3))/(4 - 3) = 2 - sqrt(3)। संयुग्मी तकनीक इसलिए काम करती है क्योंकि (a + sqrt(b))(a - sqrt(b)) = a² - b, जो मूलांक को समाप्त करता है। परिमेयकरण अच्छी गणितीय प्रथा मानी जाती है क्योंकि यह स्वच्छ व्यंजक उत्पन्न करती है।
मूलांक और परिमेय घातांक
मूलांकों को परिमेय (भिन्नात्मक) घातांक के रूप में लिखा जा सकता है, और इसके विपरीत भी। x का nवाँ मूल x^(1/n) के बराबर है। अधिक सामान्य रूप से, x^(m/n) = (x^m) का nवाँ मूल, या समतुल्य रूप से, (x का nवाँ मूल)^m। उदाहरण के लिए, sqrt(x) = x^(1/2), x² का घनमूल = x^(2/3), और x^(3/4) = x³ का चतुर्थ मूल। यह संकेतन अक्सर बीजगणितीय हेरफेर के लिए अधिक सुविधाजनक होता है, विशेषकर घातांक के नियम लागू करते समय। उदाहरण के लिए, sqrt(x) x x का घनमूल = x^(1/2) x x^(1/3) = x^(5/6)। दोनों रूपों के बीच रूपांतरण बीजगणित और कैलकुलस में एक प्रमुख कौशल है।