Comment calculer les permutations et les combinaisons - Guide complet
Apprenez a calculer les permutations et les combinaisons avec des formules claires et des exemples. Comprenez quand l'ordre compte, les factorielles et les applications.
Principes de denombrement
Avant de plonger dans les permutations et les combinaisons, il est utile de comprendre deux principes fondamentaux de denombrement. Le principe de multiplication stipule que si une tache peut etre effectuee de m façons et une seconde tache independante peut etre effectuee de n façons, alors les deux taches ensemble peuvent etre effectuees de m x n façons. Par exemple, si vous avez 5 chemises et 3 pantalons, vous pouvez creer 5 x 3 = 15 tenues. Le principe d'addition dit que si un evenement peut se produire de m façons et un evenement mutuellement exclusif peut se produire de n façons, le total est m + n. Ces principes forment le fondement de toutes les formules de denombrement, y compris les permutations et les combinaisons.
Qu'est-ce qu'une factorielle ?
La factorielle d'un entier non negatif n, notee n!, est le produit de tous les entiers positifs de 1 a n. Donc 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120. Par convention, 0! = 1. Les factorielles croissent extremement vite : 10! = 3 628 800 et 20! = environ 2,43 x 10^18. Les factorielles apparaissent dans les formules des permutations et des combinaisons car elles representent le nombre total de façons d'arranger n objets distincts. Comprendre les factorielles est essentiel en combinatoire, car elles simplifient la notation et le calcul des problemes de denombrement. La plupart des calculatrices ont un bouton factorielle dedie, et les langages de programmation fournissent des fonctions factorielles.
Permutations : quand l'ordre compte
Une permutation est un arrangement d'objets ou l'ordre compte. Le nombre de façons d'arranger r objets choisis parmi n objets distincts est donne par P(n, r) = n! / (n - r)!. Par exemple, le nombre de façons d'attribuer des medailles d'or, d'argent et de bronze a 3 athletes parmi 10 est P(10, 3) = 10! / 7! = 10 x 9 x 8 = 720. Chaque arrangement est compte separement : donner l'or a Alice et l'argent a Bob est different de donner l'or a Bob et l'argent a Alice. Quand r = n (arranger tous les objets), la formule se simplifie en n!. Par exemple, le nombre de façons d'arranger 6 livres sur une etagere est 6! = 720.
Combinaisons : quand l'ordre ne compte pas
Une combinaison est une selection d'objets ou l'ordre ne compte pas. Le nombre de façons de choisir r objets parmi n objets distincts est C(n, r) = n! / (r! x (n - r)!), aussi ecrit « n parmi r ». Par exemple, le nombre de façons de choisir un comite de 3 personnes parmi un groupe de 10 est C(10, 3) = 10! / (3! x 7!) = 720 / 6 = 120. La difference avec les permutations est la division par r!, qui tient compte du fait que chaque groupe de r objets peut etre interieurement rearrange de r! façons, toutes comptant comme la meme combinaison. Choisir {Alice, Bob, Carol} est le meme comite quel que soit l'ordre.
Permutations vs combinaisons : comment faire la difference
La question cle est : l'ordre de selection compte-t-il ? Si rearanger les elements choisis produit un resultat different, utilisez les permutations. Si rearanger produit le meme resultat, utilisez les combinaisons. Les classements, les sequences, les mots de passe et les arrangements sont des problemes de permutation. Les comites, les equipes, les groupes et les collections sont des problemes de combinaison. Un test utile : si vous decririez le resultat comme un « groupe » ou un « ensemble », c'est une combinaison ; si vous le decririez comme une « sequence » ou un « arrangement », c'est une permutation. Par exemple, selectionner 5 numeros de loterie parmi 49 est une combinaison (l'ordre de tirage n'importe pas pour le gros lot), mais assigner 5 taches a 5 employes dans un ordre specifique est une permutation.
Permutations avec repetition
Quand la repetition est autorisee, les formules changent. Si vous creez un arrangement de r elements choisis parmi n types ou chaque type peut etre utilise plusieurs fois, le nombre d'arrangements est n^r. Par exemple, un code PIN a 4 chiffres ou chaque chiffre peut etre de 0 a 9 a 10^4 = 10 000 possibilites. Un autre type de permutation avec repetition survient lors de l'arrangement d'objets dont certains sont identiques. Le nombre d'arrangements distincts de n objets ou il y a n1 d'un type, n2 d'un autre, et ainsi de suite est n! / (n1! x n2! x ... x nk!). Par exemple, le nombre d'arrangements distincts des lettres dans « MISSISSIPPI » est 11! / (1! x 4! x 4! x 2!) = 34 650.
Combinaisons avec repetition
Les combinaisons avec repetition (aussi appelees multi-ensembles) comptent le nombre de façons de choisir r elements parmi n types lorsque la repetition est autorisee et que l'ordre ne compte pas. La formule est C(n + r - 1, r) = (n + r - 1)! / (r! x (n - 1)!). Par exemple, le nombre de façons de choisir 3 boules de glace parmi 5 parfums (ou vous pouvez repeter les parfums) est C(5 + 3 - 1, 3) = C(7, 3) = 35. Ce scenario est souvent modelise avec la technique des « etoiles et barres », ou vous distribuez r elements identiques dans n categories distinctes. Ce type de probleme apparait dans la distribution de ressources, le denombrement de termes polynomiaux et de nombreux contextes d'optimisation.
Applications et conseils de resolution de problemes
Les permutations et les combinaisons sont utilisees extensivement en probabilites, statistiques, informatique et prise de decision quotidienne. En probabilites, le nombre de resultats favorables et de resultats totaux est souvent calcule avec ces formules. En genetique, les combinaisons determinent comment les alleles peuvent s'apparier pendant la reproduction. En informatique, les combinaisons apparaissent dans l'analyse des algorithmes et l'optimisation. Pour resoudre les problemes, commencez par identifier le nombre total d'objets (n), le nombre en cours de selection (r), si l'ordre compte et si la repetition est autorisee. Dessinez un arbre de decisions ou listez les petits cas pour verifier votre formule. De nombreux problemes complexes peuvent etre decomposes en sous-problemes plus simples en utilisant le principe de multiplication combine avec les permutations et les combinaisons.